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Phasenraum und Torus...??

geschrieben von Nele 
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Phasenraum und Torus...??
23. March 2004 16:23
Hallo,

ich beschäftige mich im Rahmen des Informatikstudiums mit dem Thema Chaostheorie und stehe gerade "auf dem Schlauch" - vermutlich ist es nur ein kleiner Denkfehler, aber ich verstehe hier einige Zusammenhänge nicht.

Also...

In Linearen Systemen gibt es den u.a. den Fokus und den Grenzzyklus als Attraktor, richtig?

In nichtlinearen Systemen gibt es dann noch zusätzlich den seltsamen Attraktor...

Aber es tauchen auch die Begriffe Phasenraum und Torus auf - wie ordne ich die da ein?

Sehe ich das richtig, dass Phasenraum und Mannigfaltigkeit das gleiche ist?

Und der Torus ist ein quasi-periodischer Attraktor, der im Phasenraum dargestellt einen Torus ergbit?
Aber in welchen Systemen tauchen denn die Tori auf? In linearen oder in nichtlinearen.... oder hat das damit garnix zu tuen?

Ich bedanke mich jetzt jetzt für eure Antworten!

Viele Grüße,
Nele
richy2
Re: Phasenraum und Torus...??
24. March 2004 18:48
Hallo Nele
Sehr viel kann ich Dir wahrscheinlich auch nicht weiterhelfen.
Wenn mit Grenzzyklus allgemein periodisches Verhalten gemeint ist,
dann trifft ...

> In Linearen Systemen gibt es den u.a. den Fokus und den Grenzzyklus
> als Attraktor

... sicherlich zu.

Beispiel ungedaempftes Pendel.
schwingt mit x=a*sin(w*t)
Der Phasenraum ist die Darstellung von x ueber dx/dt (oder umgekehrt)
dx/dt =a*w*cos(w*t)

Das ist die Parameterform einer Ellipse. Fuer w=1 ergibt sich ein Kreis.
Ist da Pendel gedaempft, so wird es irgendwann zum Stillstand kommen.
Es strebt auf den Attraktor dx/dt= Geschw. =0 zu.
Die Amplitude ist zeitabhaengig.
x=a(t)*sin(w*t)
dx/dt=da(t)/dt*sin(w*t)+a(t)*cos(w*t)
Das sollte eine Art Spirale geben. (Sieht man am 2 ten Term von dx/dt.)

Auch bei linearen diskreten Systeme ist deine Aussage zutreffend:
BSP: y(k+1)=-y(k) y0=1
Ein einfaches diskretes oszillierendes System

>In nichtlinearen Systemen gibt es dann noch zusätzlich den seltsamen >Attraktor...

Genau :-) , aber die Attraktoren werden hier noch genauer unterschieden.

zu Phasenraum: ... ist eben x ueber dx/dt
"einfach" eine Darstellungsform

MANNIGFALTIGKEIT hatten wir hier schon mal. Ziemlich kompliziert.
Ist nicht das selbe wie Phasenraum.
Tipps einfach bei Google ein.

TORUS
musste ich auch erst googeln
So ein Torus kann sich ergeben, wenn das System zwei Freiheitsgrade hat. Also noch eine Varable hinzukommt.
... ueberleg.
Ja denke bei einem Doppelpendel kann das vorkommen.
Stell dir ein ungedaempftes Pendel vor, an dem ein gedaempftes haengt.
Es ist der Fall vorstellbar, dass beide Pendel dann wie ein einziges schwingen. Das untere also nicht mehr. Es kreist wenn es schwingt also
um einen Attraktor der selber in der Phasenraumdarstellung kreist.
Das waere dann solch ein Torus.

Hab das eben auf die schnelle ueberlegt.
Es kommt wohl auch auf die verwendeten Koordinatensysteme an.
Solltest das nochmal genauer untersuchen.

Die Seite hier finde ich dazu recht einfach und gut:
http://www.thur.de/philo/asattr.htm

ciao
richy
Re: Phasenraum und Torus...??
25. March 2004 15:12
DANKE!!

Für die schnelle ausführliche Antwort!

Was ein Torus ist, war mir auchschon klar, ich wußte nur nicht so recht, WANN der zustande kommen kann.... !

Danke jedenfalls für deine Hilfe!