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chaotische systeme

geschrieben von Roger 
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chaotische systeme
03. January 2004 11:49
ich habe da mal etwas gelesen, über die chaos theorie, und habe eine grundsätzliche frage.

wie kann man aussagen über chaotische, reale, physische systeme machen, wenn die chaostheorie keine eindeutige voraussagbarkeit postuliert, und man computermodelle berechnen lässt weil man real keine daten messen kann um aussagen zu machen?

also, ich lasse die wetter entwicklung am computer als modell berechnen, weil ich "real" keine aussagen machen kann? wo ist das ein vernünftiger zusammenhang?

g roger

Also diese Frage ist jetzt eigentlich schon zu oft gestellt, um sie beantworten.

Die ungenaueste und kürzeste Antwort ist wohl, dass die Chaostheorie chaotische von deterministischen Bereichen zu trennen versucht (Inseln im Chaos) und somit versuchen kann, Aussagen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu belegen (Ein chaostheoretischer Wetterbericht könnte daher so aussehen "Morgen werden es 15 Grad" oder so "Morgen werden 15 Grad oder es gibt Bodenfrost oder die Sonne geht unter, wenn jemand zur falschen Zeit hustet, übermorgen werden es 10 Grad").

...
Re: chaotische systeme
04. January 2004 18:32
Hi
Man kann das vielleicht noch ergaenzen. Das chaotische Verhalten wird ja durch die Nichtlinearitaet verursacht. Wie genau die Wettervorhersage sein wird, haengt damit auch davon ab wie gross dieser Anteil ist. Im allgemeinen waechst dieser Anteil mit zunehmenden Amplituden. Bei einer ruhigen Wetterlage wird die Vorhersage damit auch einfacher sein, als wenn die Anfangswerte schon chaotisches Verhalten aufweisen. Wirbelsturm oder so was. Fuer den linearen Anteil ist die Wettervorhersage also schon sinnvoll. Mit den Inseln der Ordnung im Chaos darf man dies allerdings nicht verwechseln. Denn diese "taeuschen" ja nur ein determiniertes Verhalten vor, obwohl sich das System schon in einem chaotischen Bereich befindet.

ciao
richy
Re: chaotische systeme
05. January 2004 11:34
Im übrigen ist es eine Mär, daß sich das Wetter nicht voraussagen liesse.

Vielmehr wissen die Menschen schon seit Jahrtausenden ziemlich genau, wie das Wetter werden wird - sei es morgen, nächste Woche oder nächstes Jahr; denk nur mal an die berühmte Siebenschläfer-Regel.

Was bislang nicht möglich ist, ist eine exakte Voraussage mit 100%iger Trefferwahrscheinlichkeit für einen Zeitraum von mehr als ein paar Stunden.

Insofern könnte man also sagen, die Chaostheorie ist die Bauernregel der Meteorologie.

Grüße

Grägar
Andre_
Re: chaotische systeme
06. January 2004 17:06
Was mir schon oft aufgefallen ist und weswegen ich mit anderen ins missverstehen kam. (Ich selbst habe sie früher ab auch verwechselt)

Zitat von Jean Bricmont, Alan Sokal im Buch
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"Zu allem Übel wird die Chaostheorie - die mathematisch gut ausgearbeitet ist - häufig mit den erst ansatzweise formulierten Theorien der Komplexität und der Selbstorganisation verwechselt."

Was heute beispielsweise unter dem wunderbaren und beeindruckenden Namen Chaostheorie firmiert, ist nichts anderes als rekursive Funktionentheorie, und die wurde bereits Ende des neunzehnten Jahrhunderts von Koch, Hilbert und anderen entwickelt.
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Na ja, immerhin geht es hier nur um einen Begriff. Aber wenn alle unter Bananen etwas zu Essen verstehen und einige eine Batteriensorte, dann kann es schon mal zum Missverstehen kommen, wenn jemand sagt, er betreibt sein Elektroauto mit Bananen.

Mir ist aufgefallen, das vor allem Laien den Begriff Chaostheorie benutzen, wobei es denen eh egal ist, was sich dahinter wirklich verbirgt, aber für einen Wissenschaftler kann das sehr peinlich sein - da sollte man dann eher von Kybernetik oder Komplexitätstheorie sprechen.

Das Wörter vergewaltigt werden, hört man doch in den Medien ständig. Da wurde zum Beispiel jemand lebend geborgen, obwohl das Wort "bergen" festlegt, das es sich um einen Toten oder einen Gegenstand handeln muss. Ebenso landen Tote auf der Bahre, weil Tote aufgebahrt werden, während Verletzte auf die Trage kommen. Na ja, egal, was reg ich mich auf, solche Fehler mache ich ja auch. :)
Re: chaotische systeme
07. January 2004 17:18
Also das mit der rekursiven Funktionstheorie ist zwar nicht ganz falsch. Aber darin geht es lediglich um den rekursiven Algorithmus an sich, der die numerische Integration von Differentialgleichungen erlaubt. Hingegen entdeckte als erster Henry Poincare, daß es zu Irregularitäten kommt und Lorentz erkannte als erster die grundsätzliche bedeutung kleiner Störungen für die Nichtvorhersagbarkeit.
Re: chaotische systeme
07. January 2004 19:09
Ja, stimmt schon

Zitat:
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Poincaré formuliert das Dreikörperproblem und schreibt 1889-1899 einige Abhandlungen darüber. Er kommt zum Schluss, dass sich die Planeten im Sonnensystem nicht deterministisch (exakt voraussagbar) verhalten, sobald man ihre Gravitationskräfte berücksichtigt. Damit wendet er sich gegen den damals vorherrschenden Determinismus und wird daher als Begründer eines Ansatzes zur Chaostheorie bezeichnet. 1972 begründet der Meteorologe Edward Lorenz das deterministische Chaos. Die eigentliche Chaostheorie entsteht aber erst Ende der 1980-er Jahre v.a. durch Benoit Mandelbrot (Mandelbrot-Fraktale) und Mitchell Feigenbaum.
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Aber das die Planeten sich für ihn nicht determinitisch verhalten, lag nur daran, das er keine Quantentheorie der Gravitation hatte - die ganze Mathematik dazu musste und muss noch immer erst entwickelt werden. Ich finde die topologische Quantenfeldtheorie vom Ansatz her ganz interessant. - wichtig in dem zusammenhang sind auch die Theorien der Selbststrukturierung und Selbstorganisation.

Vorallem habe ich mich wegen Biologie und Evolution, Biogeographie, kritische Systeme und Kosmologie recht viel mit Mechanismen der Selbststrukturierung und komplexen Systemen beschäftigt, aber ich habe niemals irgendwo den Begriff Chaostheorie gelesen.
Re: chaotische systeme
08. January 2004 00:22
Chaostheorie und Selbstorganisation sind auch verschiedene Schuhe.
Am Anfang stand tatsächlich das deterministische Chaos. In der Folge wurden Analysemethoden entwickelt, wie Lyapunovexponent, Kolmogorowentropie, Zweipunktkorrelationsintegral, Einbettungsdimension etc.
Die betrachteten Systeme waren allesamt niedrigdimensional. Dennoch versuchte man auch biologische Zeitreihen mit diesen Methoden zu analysieren.
Spätestens 1994 anläßlich eines dreitägigen Meetings der führenden Chaosforscher in Würzburg (ich hatte das Glück, daran teilnehmen zu können), zeigte sich, daß die methoden für biologische Zeitreihen ungeeignet waren, weil diese hochdimensional sind und sich nicht mittels weniger Differentialgleichungen beschreiben lassen.
Neben der beschäftigung mit den "klassisch" chaotischen Systemen beschäftigten sich etliche Arbeitsgruppen mit Analysemethoden, andere mit Chaoscontrol, mit Selbstorganisation und Simulationen. Neue Entdeckungen, wie die selbstorganisierte Kritikalität (Per Bak), die stochastische Resonanz und das berühmte Ameisenmodell von Chris Langton wurden auf diesem Kongress vorgestellt.

Die Entwicklung war so divergent verlaufen, daß man seither von Komplexitätsforschung oder von nichtlinearer dynamik spricht, Begriffe unter die sich alle entdeckungen subsummieren lassen.

Besonders interessant ist das Modell von Chris Langton. Falls du das nicht kennst, werde ich es dir bei Gelegenheit erläutern. Vorab dazu folgendes:

Während das deterministische Chaos davon ausgeht, daß lediglich Ort und geschwindigkeit, sowie das gesetz der zeitlichen Entwicklung vorausgesetzt werden müssen, um eine zeitreihe durch Iteration entwickeln zu können, zeigt das Modell langtons eine neue Qualität auf.
Es muß nämlich auch die Historie mit berücksichtigt werden, womit das deterministische Chaos ein Spezialfall ist.
Die trajektorien einer wasserströmung hängen z.B. von der Form des Flußbettes ab und natürlich von der Stromstärke. Der Fluß verändert aber im laufe der zeit das Flußbett, wodurch die trajektorien vspäter völlig anders verlaufen. es kommt mithin nicht nur darauf an, den momentanen Zustand zu kennen, sondern auch den früheren.

Hochdimensionale systeme können wir mit wenigen Differentiialgleichungen nicht beschreiben. Hier kann man nur simulieren mittels finiter Elemente bzw. zellulären Automaten.
Re: chaotische systeme
08. January 2004 10:28
Hallo kaesmacher, danke für die Informationen.

Das Modell von Chris Langton kenne ich nicht, oder ich kann es gerade nicht zuordnen, der Name kommt mir allerdings bekannt vor, würde mich freuen, wenn du es erläuterst.
Re: chaotische systeme
08. January 2004 14:06
Ameisenmodell von Chris Langton.

Auf einer quadratischen Matrix befindet sich eine Ameise, die sich nach folgenden Regeln bewegt. Sie geht zunächst ein Feld nach vorne. Ist dieses Feld schwarz färbt, so färbt sie es weiß ein und wendet sich nach rechts. Ist das Feld hingegen weiß gefärbt, so färbt sie es schwarz ein und wendet sich nach links. Dies wird in einer Endlosschleife wiederholt.

Man beginnt mit einem schwarzen Bildschirm und startet. Etwa 10000 Schritte lang bewegt sich die "Ameise" völlig chaotisch über den Bildschirm, bevor sie in ein periodisches verhaltensmuster übergeht und auf einer sog. Straße aus dem Bildschirm läuft. man kann die Simulation auch mit mehreren farben durchführen. Z.B wenn rot, dann rechts und grün einfärben, wenn grün, dann links und gelb einfärben, wenn gelb, dann rechts und rot einfärben, etc,etc.
In verschiedenen Fällen bilden sich unterschiedliche Endzustände. Teilweise entstehen periodische Muster, in anderen Fällen bleibt das Verhalten chaotisch. Im Spektrum der Wissenschaft erschienen von 1995-2000 etliche Artikel dazu.

Interessant daran ist, daß für das Verhalten der Ameise nicht nur die momentane Position ausschlaggebend ist, sondern auch das Umfeld. Die bewegung ist nicht vorhersagbar, aber determiniert. das bedeutet, daß vor dem Start einer Simulation keine Vorhersage über den weg der Ameise möglich ist, es sei denn, man würde alle bisher eingefärbten Pixel als randbedingung mit einbeziehen.
Man kann die Sache aber auch anders interpretieren: die Ameise schafft sich ihre Umgebung selber, so daß der nächste Schritt von einem bereits vorher gemachten Schritt abhängt. Die Historie spielt also für das systemverhalten eine Rolle. Das ist beim klassischen deterministischen Chaos nicht der Fall. Hierbei genügt ein beliebiger Startwert und der Algorithmus. Wie das system zu dem als Startwert benutzen Wert kommt ist dabei völlig unwichtig.

Es handeltz sich also um ein chaotisches system, dessen zeitliche Entwicklung nicht allein durch den momentanen Status und den Algorithmus bestimmt wird, sondern ebenfalls durch den früheren Status.
Im Sinne der bisherigen Ansichten über den Determinismus ist das etwas völlig Neues.

Mfg kaesmacher
Re: chaotische systeme
08. January 2004 22:52
hi
Sehr interessant dieses Ameisensystem. Glaube ich kenne das auch irgendwie unter einem anderen Namen. Koennte man da nicht einfach sagen, das das System nach denen sich die Ameise bewegen muss zeitabhaengig ist ? oder Flussbett(t). Das mit der Historie erinnert mich irgendwie zu sehr an Differentialgleichung. Da spricht man ja auch von Gleichungen mit Gedaechtnis. BTW . Inwiefern Hochdimensional ?
Was bedeutet das ? Der Grad der DGL ?

@ANDRE
Das mit dem Dreikoerperproblem scheinst Du nicht so ganz verstanden zu haben. Es geht da nicht um Gravitonen oder Quantentheorie sondern um ganz "simple" Mechanik. Das so beliebte Doppelpendel kann man auch als 3-koerper Problem verstehen, wenn man den Aufhaengungspunkt als Koerper mit unendlicher Masse betrachtet.
Ich glaube das 3 Koerperproblem ergab sich aus der Aufgabe die Planetenbahnen zu berechnen. Die meisten denken na das koennen wir doch. Jeder Astrologe kann das. JA, aber nur unter der Voraussetzung, dass sich die Planeten unseres Sonnensystem bis in alle Ewigkeit sich so weiterbewegen wie bisher. Aber ob sie das tun werden ist eben nicht berechenbar !!! Schon fuer ein Sonnensystem aus 3 Koerpern koennen die Modellgleichungen nicht analytisch geloest werden.
Glaube Poncare hat dann diesen Spruch losgelassen:
Diese Sachen sind so bizzar , dass ich nicht mehr darueber nachdenken moechte. :-)))
Die Vorstellung, dass die Stabilitaet unseres Sonnensystems nicht vorhersagbar ist hat mir uebrigends in den 80 ern einige schlaflose Naechte bereitet.
Gluecklicherweise enthalten die meisten Proportionen in unserem Sonnensystem den goldenen Schnitt. Seither schlafe ich wieder ruhiger :-)
ciao
richy
Re: chaotische systeme
09. January 2004 11:04
Hi richy,

in [i]Star Trek - Deep Space 9[/i] gabe es mal eine Folge, wo drei geniale, aber leider völlig durchgeknallte Wissenschaftler sich den Kopf darüber zerbrochen haben, wie sie die Umkehr der Expansion des Universums verhindern könnten, welche letztendlich sämtliches Leben im Kosmos vernichten würde.

So ähnlich sehe ich die Frage der Stabilität des Sonnensystems.

Das wir alle hops gehen, sollte doch Fakt sein; und wenn sich die Sonne erst mal aufgeplustert hat, verliert die Stabilität des Sonnensystems ohnehin geringfügig an Beudeutung - wenigstens für alles Irdische.

Bis dahin gibt es noch genug, was Dir Sorgen machen könnte; angefnagen von Blutfettwerten über Altersvorsorge bis hin zum Artensterben (und ganz neu auuf der Liste: zuviel Salz im Essen - verdoppelt die Gefahr für Magenkrebs!).

Aber wenn Du in aufopfernder Bescheidenheit Dein eigenes Leben hinter das Überleben der Menschheit zurückstellen willst, google mal unter dem Begriff Supervulkane; da hast Du was, was Dir wirklich Sorgen bereiten könnte, wenn Du Dich schon sorgen willst (mein Tip: tu es nicht).

Edgar Wallace hat neben unzähligen Krimis auch ein paar sehr schöne Afrika-Romane geschrieben, in denen die Eingeborenen für alles Vergangene "kala kala" sagen, was [i]gestern[/i], aber auch [i]vor hundert Jahren[/i] heißen kann. Ähnlich solltest Du die Zukunft sehen: morgen ist noch sooo lange hin.

Grüße

Grägar
Re: chaotische systeme
09. January 2004 11:07
Hi richy,
bei den Differentialgleichungen spielt die Historie keine Rolle. Wenn man die Zeitfunktion einer Bewegung ermitteln will, so werden zunächst mehrere Messungen der Position des bewegten Körpers durchgeführt. Aus der Differenz der Positionen ds und der verstrichenen Zeit zwischen den Messungen dt kann dann V=ds/dt ermitteltwerden. Trägt man die Geschwindigkeit gegen die Position in einem Koordinatensystem auf, so erhält man das Phasenraumdiagramm. Daraus ergeben sich die Abhängigkeiten von s und ds/dt. Das Problem wird dann als Differentialgleichung formuliert (genau genommen handelt es sich zunächst um Differenzengleichungen, weiters würde hier zuweit führen),allgemein s=f(ds/dt). Da nun die Geschwindigkeit V (ds/dt) die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, gewinnt man durch Intergartion die Zeitfunktion. das heißt, die Abhängigkeit des Ortes von der Zeit.
Durch die entdeckung des deterministischen Chaos ist heute klar, daß diese differentialgleichungen auf analytischem wege nur Lösungen liefern, wenn es sich entweder um eine periodische Bewegung oder um eine stetige und monotone Funktion handelt. Alle anderen Differentialgleichungen sind nur auf numerischem Wege integrierbar. Wenn also eine Zeitfunktion ermittelt werden kann, (egal ob chaotisch oder nicht), dann spielt die Historie keine Rolle, weil durch Einsetzen negativer Werte für die Zeit auch das Systemverhalten in der Vergangenheit berechnet werden kann.

Es gibt aber Systeme, bei denen die Zeitfunktion aus einem bekannten Anfangszustand nicht ermittelt werden kann, bei denen der Laplacesche Dämon also unrecht hat. Das ist bei allen Systemen der Fall, die Hystereseerscheinungen haben, z.B. die Magnetisierung eines Eisenstückes durch einen elektrischen Strom. Die magnetische Feldstärke nimmt nämlich bei einer Verminderung der Stromstärke nach einer anderen Funktion ab, als sie bei Zunahme des Stromes zugenommen hat. Ist also die momentane Stromstärke und magnetische Feldstärke bekannt, so gibt es zwei mögliche Entwicklungen, je nachdem, wie die Stromstärke verändert wird.
Ein anderes beispiel ist ein Gummiball, den man zusammendrückt. Wenn man diesen wieder losläßt, hängt die zukünftige systementwicklung nicht allein vom Kompressionsgrad des Balles ab, sondern auch davon, wie schnell er zusammengedrückt wurde. Hier kommt die Historie ins Spiel und die Zeitfunktion ist nicht eindeutig zu ermitteln. es gibt vielmehr eine Schar von Zeitfunktionen.
Das Flußbett, das durch die Strömung verändert wird und seinerseits wiederum den Verlauf der Strömung verändert ist vielleicht das beste Beispiel für den Typ von Systemen, der durch das Ameisenmodell aufgezeigt worden ist. Der Verlauf der Trajektorien der Wasserteilchen gehorcht der klassischen Chaostheorie. Ändert sich aber die Form des Flußbettes, so ändern sich die Rahmenbedingungen, oder anders ausgedrückt, die Konstanten sind in Wahrheit Variable, die sich auf einer bestimmten Zeitskala verändern.

Nun zur Dimension.
Die Anzahl der zur Beschreibung eines chaotisches Systems erforderlichen Differentialgleichungen entspricht der anzahl der Dimensionen des Phasenraumes, in dem das System eingebettet ist. Der Attraktor hat, wenn er chaotisch ist eine gebrochene Dimension (und ist deswegen ein Fraktal) , die kleiner ist, als die Dimensionen des Phasenraumes. So hat der Lorenzattraktor eine Dimension von 2,1... und nochwas und ist eingebettet in einem dreidimensionalen Phasenraum.
Betrachtet man aber Vielteilchensystem, wie z.B. Herzzellen, die miteinander wechselwirken, dann hat man praktisch soviel Dimensionen, wie es wechselwirkende Elemente gibt. Analysiert man das Gesamtverhalten (z.B. den Zeitlichen Verlauf der integrierten Gesamtspannung aller Herzzellen) mit Methoden der Chaostheorie, z.B. indem man den Lyapunovexponenten, oder die Einbettungsdimension nmch Grassberger und Proccacio oder die fraktale Dimension versucht zu bestimmen, so stellt sich heraus, daß man nicht weiterkommt. Die Ergebnisse sind nicht eindeutig.

Also muß man bei hochdimensionen Systemen anders verfahren.
Ein brauchbares tool mit dem Namen SANTIS (SystemANalysisand TImeSeries)wurde von dem Physiker und Mathematiker Ralf Vandenhouten vor einigen Jahren an der TH Aachen entwickelt.
Vielleicht suchst du mal im Netz danach.

Gruß H.K.
Re: chaotische systeme
09. January 2004 11:59
Hi Richy, ich denke, wir gehen manchmal von ganz anderen Annahmen aus.

Zitat: "Schon fuer ein Sonnensystem aus 3 Koerpern koennen die Modellgleichungen nicht analytisch geloest werden."

Ich betrachte es oft rein von der theoretischen Seite, ob es praktisch lösbar ist, ist etwas anderes. Ich habe im Zitat von Poincaré das " Damit wendet er sich gegen den damals vorherrschenden Determinismus" falsch interpretiert. Ich habe die Aussage so verstanden, als wäre sie nicht voraussagbar (theoretisch) aber hier war es auf die Praxis bezogen, ich habe es jedoch rein Theoretisch aufgefasst.
Wenn ich eine Theorie oder besser Modell der Quantengravitation hätte, könnte ich es zumindest simulieren, um zu sehen wie es sich entwickelt etc, das war mein Gedankengang.

Ich denke eigentlich immer nur an das Simulieren eines Systems und nicht an das Berechnen irgendwelcher größen.
Ganz interessant finde ich Genetische Algorithmen, mit denen ich eine ganze weile herumexperimentiert habe, leider bin ich noch nicht dazu gekommen, den Grafikteil für das Rendering zu implementieren, damit ich mir den Spaß in 3D anschauen kann. :)
Gestern habe ich mir mal "Knotentheorie" aus der Bibliothek mitgenommen, ist ziemlich interessant.
Buch: Die Entstehung der Knotentheorie, von Moritz Epple. Mal schaun, was ich davon überhaupt begreife.
Re: chaotische systeme
09. January 2004 14:35
Danke kaesmacher für die Erklärung.

Ich kannte das Modell tatsächlich noch nicht, aber mir ist das Prinzip vertraut. Es begegnet einem in fast jedem Buch, das die Welt unter evolutionären Aspekten betrachtet und erklärt.

Kennt jemand das Spiel des Lebens? Ich hoffe es, sonst erkläre ich es noch.
Leicht abgewandelt lässt sich auf die art in einer Simulation die Form unserer Galaxis erklären.. die Spiralform ergibt sich von selbst, es verhält sich dabei wie bei dem Ameisenmodell. Zur vollständigen Erklärung benötigt man allerdings noch die Dichtewellentheorie, aber das ist hier wohl weniger von interesse, weil sich damit nur ganz grob erklärt, wie die Form zustande kommen könnte, ausgehend von dem Wissen, dass die Spiralarme Zonen sind, in denen Sterne entstehen und Supernovae stattfinden, die eine Druckwelle aussenden, die das Interstellare Gas an anderen Stellen verdichtet, und sich dort dann neue Sterne bilden. Die leuchtenden Spiralarme sind die Sternentstehungsgebiete unserer Galaxie, in denen sich nur ein Teil der Sterne befindet, der große Rest liegt dazwischen, nur so als Info für die Interessierten.



Nachricht bearbeitet (09.01.04 14:45)
Re: chaotische systeme
09. January 2004 21:27
Ich kenne das Spiel des lebens, da ich mich jahrelang mit zellulären Automaten beschäftigt habe. zelluläre Automaten oder finite Elemente sind die ideale Simulationsmethode, um das verhalten von Vielteilchensystemen zu untersuchen. Eine Matrix quadratischer Zellen bildet das Grundgerüst. Man kann die zellen eindimensional anordnen, wie im Spiel des Lebens von Conway. man kann sie aber auch zweidimensional oder dreidimensional anordnen, was noch viel interessanter ist.

Jede Zelle kennt mehrere zustände oder besitzt einen oder mehrere parameter, die innerhalb bestimmter grenzen oder entsprechend einer Funktion veränderlich sind. Zusätzlich reagiert jede zelle auf den momentanen Zustand ihrer nachbarzellen.

Man definiert programmiertechnisch ein zweidimensionales array. jede zelle bekommt einen Startwert. Dann startet man das ganze, indem der Status der nachbarzellen für jede zelle nacheinander abgefragt wird und die reaktion der Zelle berechnet wird. Das Ergebnis wird in einem Hilfsarray zwischengespeichert. nachdem so der Status einer jeden zelle berechnet und zwischengespeichert worden ist, überträgt man die ergebnisse aus dem Hilfsarray in das hauptarray und widerholt die prozedur.

Wenn du Interesse hast, kann ich die gerne ein paar Simulationen schicken, z.B. Entstehung von Spiralwellen im hermuskel oder in der BZ-reaktion oder die synchronisation des Blinkens malaysischer Glühwürmchen.
Re: chaotische systeme
10. January 2004 12:17
Hallo
@Gregor
:-) Hi hi, ich kann ja wieder beruhigt schlafen. Majestix denkt ja auch nicht andauernd daran, dass ihm der Himmel auf den Kopf fallen koennte :-) Wenn er es auch nicht ausschliesst.
Bei meiner Ex Frau fuehrte mein Einwand bezueglich des Rasenmaehens, dass dies eine unnoetige Taetigkeit sei, weil in paar Millionen Jahren der Rasen soundso weg ist, weil die Sonne sich dann zu einem roten Riesen aufblaeht ...... auch nur zu Unverstaendnis hihi

Aber immerhin. Aufgrund der ungeklaerten Stabilitaet erscheint Keplers Weltbild der platonischen Koerper wieder in ganz neuem Licht. Kepler sah dahinter noch einen goettlichen Plan, den Newton ueber den Haufen schmiss. (Andre wuerde so etwas wohl auch nicht gefallen.)
Im Rahmen der "Chaostheorie" hat man fuer diese harmonische, Himmelsmechanik eine neue Erklaerung gefunden. Ein evolutionaeres Verhalten des Sonnensystems. In der Form, dass instabile Zusataende sich eben von alleine erledigen. Koennte man als "destruktive Resonanz" bezeichnen. Mit dem goldenen Schnitt (irrationalste aöer Zahlen) als zentrale Figur.

(Wer die Herleitung noch nicht auf meiner HP gelesn hat :)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/index.htm

Tja, da ich nun weniger Angst habe, dass mir der Himmel auf den Kopf faellt, tippe ich mal bei google SUPERVULKANE :-)
BTW: Das Beispiel mit Lok und Tender bei Negentropie ist klasse.

@kaesmacher

Der Ausdruck "mit Gedaechntnis" wird bei DGLs manchmal aufgrund der Integration verwendet, da hier eben die Vergangenheit in die Loesung mit eingeht. Du scheinst aber etwas anderes darunter zu verstehen.
Habe dazu bei Google etwas gefunden.
http://www.hu-berlin.de/presse/zeitung/archiv/02_03/num_2/campus2.shtml

Aha es sind also DGLs mit zeitabhaengigen Koeffizienten ? Auf jeden Fall zeitabhaengigen Randbedingungen.

Bei einem Unwetter kann die Flussstroemung dazu fuehren, dass das Flussbett im Verlauf voellig veraendert wird. Wenn ich jetzt einen Tag nach dem Unwetter die Stroemung beschreibe, geht darin die Stroemung am Tage des Unwetters mit ein. In Form des Flussbettverlaufs.

Gibts es neben dem Lebensspiel fuer so etwas ein elementares "einfaches" Modell in Form einer Differenzengleichung, wie Mandelbrot oder Verhulst ? Waere wirklich sehr interessant.

Vielen Dank auch fuer die weiteren Erlauterungen zum Begriff Dimension.

@andre
Bei dem 3 Koerpermodell hast du etwas zu weit gedacht. Man begnuegt sich dabei mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz.Wie gesagt die selbe Problematik stellt sich auch beim Doppelpendel. Oder noch einfacher bei der logistischen Abbildung (Verhulst). Fuer solche Gleichungen kann die Loesung simuliert, aber eben nicht analytisch angegeben werden. Ob dies jetzt prinzipiell unmoeglich ist ? Immerhin. Einen Spezialfall haben Konrad und ich bei der Verhulst Gleichung ja analytisch geloest.
Selbst das hatte ich mal fuer Unmoeglich gehalten.
Man kann sich also auch gerne mal irren :-).

ciao
richy



Nachricht bearbeitet (10.01.04 12:28)
Re: chaotische systeme
14. January 2004 13:50
Zitat
--
Wenn du Interesse hast, kann ich die gerne ein paar Simulationen schicken, z.B. Entstehung von Spiralwellen im hermuskel oder in der
BZ-reaktion oder die synchronisation des Blinkens malaysischer Glühwürmchen.
--

Ja, das fände ich sehr interessant. :) Email müsste man ja durch das Profil erhalten.

Vielleicht könntest du auch noch einige gute Bücher empfehlen, du die für lesens- und wissenswert hältst.



Nachricht bearbeitet (14.01.04 13:56)