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Unschärferealation (Vortrag in Mathe)

geschrieben von roy 
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Hallo...

Habe mal ne Frage...ich muss bald einen Vortrag in Mathe zur Unschärferelation machen und habe jetzt mein Material dazu bekommen.
Mit einigen Zeichen kann ich nichts anfangen.

z.b. Eine Funktion f heist Fensterfunktion, wenn neben f(t) auch t*f(t) in L(R,C) liegt und f die Normierungsbedingung
||f||=Wurzel[Integral von minus unedlich bis unendluch von |f(t)|² dt] = 1

Wie kann ich |f(t)|² berechnen und was ist das.

Habe noch ein Beispiel,dass es zu berechnen gibt:

g tiefgestellt lamda (t)=1/(vierte Wurzel von 2*pi*lamda)*e hochgestellt(-t²/(4*lamda)

Ich soll |f(t|² berechnen und ||f(t||

Ich hoffe,dass mir einer helfen kann...danke
bitte unbedingt im irgendwelche hinweise...wäre euch so dankbar...
Re: Unschärferealation (Vortrag in Mathe)
16. May 2008 17:09
Hi
Das Zeichen |f(x)| steht fuer den Betrag der Funktion f(t).
Im einfachsten Fall machst du eine Fallunterscheidung fuer f(x)<0, f(x)>0

Falls f(x) einen Vektor darstellt, zum Beispiel eine Komplexe Zahl musst du allgemeiner vorgehen.

Die Schroedingergleichung ist eine komplexwertige Funktion.
Der Variablen ksi selber kann man keine Bedeutung zuschreiben.
Erst das Betragsquadrat der Funktion ergibt die Bedeutung einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Wobei ueber deren physikalischen Inhalt man geteilter Meinung ist.

- kopenhagener Deutung
- viele Welten Theorie
- Bohmsche Mechanik
Die Kopenghagener Deutung ist der Standart an der man sich auch in der Schule halten sollte. Es ist im Grunde gar keine Deutung sondern es wird einfach die Aussage verweigert ueber den physikalischen Charakter der Wellenfunktion vor dem Messvorgang. Schroedingers Katze oder "Wo ist der Mond wenn ich ihn nicht beobachte" zeigen die Problematik dieser Interpretation.
Die Viele Welten Interpretation vermeidet solche Widersprueche und das Kollabieren der Wellenfunktion. Loest auch das EPR Paradoxon.
Allerdings wuerde ich das im Schulunterricht lieber nicht erwaehnen :-)

Wie bilde ich den Betrag einer komplexwertigen Funktion ?
Wenn man mit re(x) den Realteil und im(x) den Imaginaerteil bezeichnet also:
f(x)=re(x) + j*im(x) (j^2=-1)
Dann ist der Betrag |f(x)|=wurzel( re(x)^2+im(x)^2 )
In vektorieller Anschauung ist das ein Abstand oder die Laenge eines Vektors.
Und das Betragsquadrat re(x)^2+im(x)^2

Das Zeichen ||f(x)|| wird als Norm einer Funktion bezeichnet.
Wie man diese bildet hast du bereits angegeben.
Nach dem Theorem von Parseval kann man das Integral auch uber die Fourier Transformierte berechnen. (Sinnvoll wenn diese einen einfacheren Ausdruck darstellt.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval's_theorem
Physikalisch bedeutet die Norm, dass wenn ich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ueber den ganzen Raum integriere muss sich eins ergeben.
So gehoert sich das fuer eine Wahrscheinlichkeit :-)

Hast du nicht die imaginaere Einheit bei der Angabe von f(x) vergessen ?
Ansonsten musst du f(x) quadrieren und dann integrieren.
Meinst du :
g:=1/(2*pi*lambda)^(1/4)*exp(-t^2/(4*lambda))
Durch das Quadrieren wird aus der 4 ten Wurzel eine normale Wurzel.
und exp(-t^2/(4*lambda)) zu exp(-t^2/(2*lambda))

f(x)=1/2*2^(1/2)/(pi*lambda)^(1/2)*exp(-1/2*t^2/lambda)
Um exp(-1/2*t^2/lambda) elementar zu integrieren muss das Vorzeichen von lambda bekannt sein.
Fuer lambda<0 ist die Aufgabe nicht loesbar fuer lambda>0 ergibt das Integral Wurzel(Pi)/Wurzel(Pi)=1

Ich hab das Integral auf die Schnelle mit Maple geloest.
exp(-a*t^2) ist elementar nicht integrierbar.Es wird als Gaussches Fehlerintegral bezeichnet. In den speziellen Schranken -00..00 gibt es jedoch eine Loesung.
Die Loesung des Integrals ist nicht ganz einfach. Hier findest du den Loesungsweg : (Nachweis der Normierung)
http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral
Fuer a<0 ist die Funktion divergent.

Alternativ koenntest du die Funktion auch in eine Laurentreihe entwickeln und den Residuensatz anwenden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz



21-mal bearbeitet. Zuletzt am 18.05.08 04:19.
Hallo Richi...erstmal danke für deine super Antwort.
Habe noch ein kleines Anliegen an euch.

Ich soll von der obigen Funktion nun noch den Erwartungswert mü berechnen mit der Formel Integral von minus unendlich bis unendlich t*|f(t)|² dt.
Und dann noch die Standardabweichung bzw Unschärfe mit der Formel

Wurzel aus[Integral(t-mü)²*|f(t)|² dt]

Kann das mir mal bitte jemand vorrechnen. Ergbnis zur Kontrolle
mü=0 und unschärfe=wurzel aus lamda.

Nun Habe ich auch noch eine weitere Fensterfunktion
f(x)=Wellenzeichen von integral -1/2 bis 1/2 von t
Auch hier soll ich |f(t)|² ||f(t)|| und mü und unschärfe berechnen...

Ergebnisse hier mü=0 und unschärfe=1/(2*wurzel lamda).


Ich danke euch
Re: Unschärferealation (Vortrag in Mathe)
18. May 2008 02:47
Ausfuehrliche Loesung:
g(t)=1/(vierte Wurzel von 2*pi*lamda)*e hochgestellt(-t²/(4*lamda)
|g(t)|^2=1/(Wurzel von 2*pi*lambda)*e hochgestellt(-t²/(2*lambda)

Substitutionen von Konstanten fuer eine verkuerzte Schreibweise:

c=1/(Wurzel von 2*pi*lambda)
a=1/(2*lambda)
|g(t)|^2=c*exp(-a*t^2)
*********************
Erwartungswert:
(Anm: Das Betragsquadrat resuliert aus der quantenmechanischen Verteilungsfunktion)

Zentrale Aufgabe ist zunaechst die Stammfunktion, also das unbestimmte Integral von g(t)=t*c*exp(-a*t^2) zu suchen.
Integral( t*c*exp(-a*t^2) dt) hatten wir schon einer Tabelle entnommen :

A) Integral( t*c*exp(-a*t^2) dt)=-c/(2a)*exp(-a*t^2)
****************************************************
Im folgenden dennoch der elementare Loesungsweg:
I) J=Integral( t*c*exp(-a*t^2) dt)

SUBSTITUTION:
*************
1) z=a*t^2
********
Nicht nur t, auch dt muessen wir substituieren. Dazu muss man sich keine Formel merken, sondern wir bilden in 1) einfach mal dz/dt=2*a*t
Differenzielle Ausdruecke wie dz dt kann man wie Symbole umformen :

2) dt = dz/(2*a*t)
******************
Jetzt substituieren wir 1) und 2) in I)
J=Integral( t*c*exp(-a*t^2) dt)
J=Integral( t*c*exp(-z) dz/((2*a*t))

Wir haben Glueck.t kuerzt sich vollstaendig.
J=Integral( c/(2a)*exp(-z) dz)

Das laesst sich elementar integrieren.
Die Differentiation d exp(x)/dx kennen wir ja. Und daher
Integral(exp(-z) dz)=-exp(-z). Die Konstanten koennen wir vor das Integral ziehen:
Integral( c/(2a)*exp(-z) dz)=-c/(2a)*exp(-z)
Jetzt machen wir die Substitution z rueckgaengig ;

B) Integral( c/(2a)*exp(-z) dz)=-c/(2a)*exp(-a*t^2)
************************************************
und stellen bei einem Vergleich mit A) fest dass wir uns nicht verrechnet haben :-)

Die verkuerzenden Konstanten c und a belassen wir erst mal.
Nun gilt Integral(g(t) dt,t=a bis b)=g_Stammmfunktion(b)-g_Stammmfunktion(a)
Das schreibt man auch in der Form
[g_Stammmfunktion(t)] a bis b

Aufgabe 1 a
************
Fenster (Schranke, Intervall) -00 bis 00
Ich schreibe das mal salopp im Asci Code :
B) [ -c/(2a)*exp(-a*t^2) ]-00 bis 00 =
-c/(2a) ( exp(-a*(00)^2) - exp(-a*(-00)^2) ) = 0 - 0 = 0
Auch ohne Grenzwertbildung sieht man : Das ist auf jeden Fall NULL.
MUE=0

Aufgabe 2 a
************
Fenster (Schranke, Intervall) -1/2 bis 1/2
-c/(2a) ( exp(-a*(1/2)^2) - exp(-a*(-1/2)^2) ) = 0 - 0 = 0
MUE=0


Aufgabe 1 b
***********
[quote]
Und dann noch die Standardabweichung bzw Unschärfe mit der Formel
Wurzel aus[Integral(t-mü)²*|f(t)|² dt]
[/quote]
Da MUE uns wohlgesonnen gleich Null ist reduziert sich die Aufgabe zu :
Wurzel aus [Integral t² |f(t)|² dt]
Die Wurzel hat nichts mit dem Integral zu tun. Die ziehen wir spaeter.

t kommt diesmal als quadratische Gewichtung t² vor.
Wir haben es also leider mit einem neuen Integral zu tun. Konkret :
J=Integral( t^2*c*exp(-a*t^2) dt)
*********************************
[img]http://upload.wikimedia.org/math/7/6/f/76fdd57bbf7feab7cf19ba032033ae17.png[/img]


LOESUNG mittels Maple
*********
(Modernere Methode)
Ein Digitalrechner ist nicht nur fuer Ballerspiele gut sondern man kann darauf
auch ein analytisches Mathematikprogramm wie MAPLE installieren.
MAPLE liefert fuer folgende Befehlszeilen :
> restart;
> assume(lambda>0);
> c:=1/sqrt(2*pi*lambda);
> a:=1/(2*lambda);
> l:=int( t^2*c*exp(-a*t^2),t=-infinity..infinity);

den Output l=lambda (das ist korrekt)

Den Aufgabenteil 2,2 kann weder Maple noch ich analytisch loesen :-(

Ich frage diesbezueglich mal im AC Forum nach. Da gibt es einige Mathe Cracks.

Habe ich die Aufgabenstellung von Teil 2 eventuell missverstanden ?



8-mal bearbeitet. Zuletzt am 18.05.08 20:38.
Danke richi für deine super antwort wieder...habe alles soweit verstanden.

Hab mal noch ne Frage.
Ein weiterer Teil meines Vortages besteht darin, das ich das Heisenbergsche Unschärfeprinzip nachweisen soll.


ALso : unschärfe von f multipliziert mit der Unschärfe von f hut soll größer gleich 1/2 sein.
f hut ist dabei die fouriertransformierte.

Wir sollen dabei die Fouriertransformation nutzen sowie satz von plancherel und cauchy-schwarz ungleichung und auch die partielle integration soll vorkommen.
Kannst mich da jemand helfen und den Beweis führen??
Danke
danke erstmal richi.
Habe dir per e mail mal mein script geschickt (5 Seiten)
Vielleicht kannst du mir dann hier im Forum die Schritte mal erklären...Danke dir
hey richi...kannst du mir helfen???ist echt wichtig und wäre cool...danke
Re: Unschärferealation (Vortrag in Mathe)
24. May 2008 08:53
roy, registrier' Dich doch mal in " www.matheplanet.de "

Die sind ganz wild darauf, ihr Zeug loszuwerden !
Ein Apfelmännchen ist x = c - x*x